تحلیل و ترکیب

ذخیره مقاله با فرمت پی دی اف



تحلیل وَ ترکیب، نـام دو عمل در منطق و ریاضیات دوران باستان و دوران اسلامی بوده است.


تعریف

[ویرایش]

موضوع تحلیل کشف تعریف یک مفهوم یا کشف روش اثبات یک قضیه یا شیوۀ ترسیم یک شکل هندسی است و ترکیب عبارت است از ساختن مفهوم، اثبات قضیه، یا ترسیم شکل موردنظر، براساس آنچه از راه تحلیل به دست آمده است.

تحلیل و ترکیب نزد منطق‌دانان

[ویرایش]

در آثار ارسطو تحلیل و ترکیب تعریف نشده‌اند، اما وی در برخی از آثار خود به ویژگی‌های تحلیل و ترکیب اشاره می‌کند.
مثلاً در «اخلاق نیکوماخس» مرحلۀ آخر تحلیل را مرحلۀ اول ترکیب می‌داند.
در نوشته‌های منطقیان و ریاضی‌دانان دوران باستان و دوران اسلامی تحلیل و ترکیب در مواضع گوناگون و به معانی مختلف به کار رفته است.
یکی از این مواضع مقدمه‌های شروحِ «تحلیل‌های نخستین» ارسطوست.
فی‌المثل ابن زرعه (د ۳۹۸ق/ ۱۰۰۸م) وجه تسمیۀ این کتاب را در این می‌داند که روش ارسطو در آن در همه جا تحلیل است.
[۱] عیسی‌ابن زرعه، منطق، ج۱، ص۱۰۰، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.

تحلیل در اینجا به ۳ معنی است:
۱. تحلیل شکل‌های دوم و سوم قیاس (شکل‌های غیر تام) به شکل اول؛
۲. استخراج مقدمات و حد اوسط از راه تحلیل دو حد مطلوب به محمولات ذاتی، خاص، عَرَضی و مباین؛
۳. تحلیل هر قیاسی که با آن روبه‌رو شویم، به ضرب و شکل آن.
[۲] عیسی‌ابن زرعه، منطق، ج۱، ص۱۰۰، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.

ابن سینا نیز مشتقات مصدر «حَلّ» را به معنای نخست به کار برده است. مثلاً در اشارات می‌نویسد: «باید بدانی که همه قضایای شرطی (شرطیات) به قضایای حَملی (حملیات) منحل می‌شوند (تَنحَلّ)».
[۳] ابن سینا، الاشارات والتنبیهات، ج۱، ص۱۲۳، تهران، ۱۳۷۷ق.


← یکی از چهار روش جدلی


تحلیل در عین حال یکی از ۴ روش جدلی است که عبارت‌اند از تقسیم، تعریف، برهان و تحلیل.
بر اساس تعریف ابوالفرج ابن طیب (د ۴۳۵ق/۱۰۴۴م)، تحلیل، به این معنی، عبارت است از «بازبردن چیزی به مبادیِ آن، مثلاً بازبردن یک شخص به مبادی قریب و بعید او، یعنی بازبردن شخص به اعضای آلیِ او، مانند دست و پا؛ و باز بردن این مبادی به اجزاء متشابه آنها، مانند گوشت و استخوان، و باز بردن اجزاء متشابه به ۴ خَلط که عبارت‌اند از خون، بلغم، صفرا و سودا ؛ و باز بردن این ۴ خلط به ۴ عنصر که عبارت‌اند از آتش، هوا، آب و خاک ».
[۴] عبدالله ابوالفرج ابن طیب، تفسیر کتاب ایساغوجی لفرفوریوس، ج۱، ص۴۴، به کوشش کوامی جیکی، بیروت، ۱۹۷۵م.


تحلیل در آثار منطقی

[ویرایش]

با این حال، تحلیل در آثار منطقی عموماً به معنای محدودتری به کار رفته است.
در این آثار از دو گونه تحلیل سخن به میان آمده است:

← با موضوع حدود و تعریف


یکی تحلیلی که موضوع آن «حدود» یا تعریفها‌ست (تحلیل حد) و دیگر تحلیلی که در مورد قضایا صورت می‌پذیرد.
تحلیل به معنای اول به این ترتیب انجام می‌گیرد که مفهومی را که در صدد تعریف آن هستیم، مفروض می‌گیریم و آن‌گاه، از راه تأمل در جنسی که این مفهوم بدان تعلق دارد و تفاوت‌ها و اشتراکاتش با دیگر انواعی که تحت آن جنس قرار می‌گیرند، ذاتیات آن را جست‌و‌جو می‌کنیم.
تحلیل در کنار «تقسیم» یکی از دو شیوه‌ای است که منطقیان قدیم بـرای رسیدن به تعاریف پیشنهاد ‌کرده‌اند.
ترکیب ــ که عکس تحلیل و تقسیم است ــ به معنای برهم افزودن این ذاتیات و دست یافتن به تعریفی از مفهوم مورد نظر است.
[۵] نصیر‌الدین طوسی، اساس الاقتباس، ص۴۲۵، به کوشش محمد تقی مدرس رضوی، تهران، ۱۳۲۶ش .

گذشته از این، تحلیلِ حد به عنوان روشی برای آموزش علوم نیز به کار می‌رفته است و فی‌المثل جالینوس الصناعة‌الطبیۀ خود را به این شیوه تألیف کرده است.
[۶] جالینوس، «الصناعة الطبیة»، ج۱، ص۲۷۳- ۲۷۵، «فلسفۀ ریاضی ابن هیثم».


← تحلیل در قضایا


تحلیلی که در مورد قضایا انجام می‌گیرد، عبارت است از رسیدن از نتایج برهان به مقدمات آن و ترکیب عبارت است از رسیدن از مقدمات به نتایج.

←← تعریف خواجه نصیر


خواجه نصیر‌الدین طوسی در اساس‌الاقتباس، تحلیل را بدین صورت تعریف می‌کند: «در قیاس چنان بود که اول مطلوب وضع کنند و بعد از آن طلب مقدماتی کنند که منتج مطلوب بود».
[۷] نصیر‌الدین طوسی، اساس‌الاقتباس، ج۱، ص۴۲۵، به کوشش محمد تقی مدرس رضوی، تهران، ۱۳۲۶ش.

جالینوس نیز تحلیل و ترکیب را تقریبا به همین صورت تعریف می‌کند.
[۸] جالینوس، «الصناعة الطبیة»، ج۱، ص۲۷۳- ۲۷۵، «فلسفۀ ریاضی ابن هیثم».

در نظر ارسطو، دشواری تحلیل در این است که چون از مقدمات کاذب هم می‌توان نتیجۀ صادق گرفت، تحلیل همواره نمی‌تواند ما را به مقدمات درست برساند.
اگر چنین نبود، یعنی اگر مقدمات و نتیجه متعاکس بودند‌، به عبارت دیگر اگر همان‌گونه که صدق مقدمات مستلزم صدق نتیجه است، صدق نتیجه نیز مستلزم صدق مقدمات می‌بود، کار تحلیل آسان می‌شد.
به این دلیل است که به نظر ارسطو، تحلیل در مسائل ریاضی معمول‌تر است، زیرا بسیاری از تعاریف و قضایای ریاضی منعکس‌اند.
دلیل این امر این است که در ریاضیات چیزهایی که ما مفروض می‌گیریم، هرگز اعراض نیستند، بلکه تعاریف‌اند‌.
ارسطو این ویژگی را یکی از تفاوت‌های بارز میان ریاضیات و استدلال جدلی می‌داند.

←← تعریف ابن سینا


ابن سینا نیز در کتاب برهان از منطق شفا، بی‌آنکه تعریف دقیقی از تحلیل و ترکیب به دست بدهد، به تفاوتهایِ میان تحلیل (که آن را تحلیل عکس می‌نامد) در علوم تعلیمی (ریاضیات) و در جدل می‌پردازد:
در علوم تعلیمی محمولات مسائل از تعریف‌ها، یا از آنچه، بر حسب تعریف، عَرَضِ لازم محسوب می‌شود، اخذ می‌گردد.
این‌گونه چیزها عوارض ذاتی محسوب می‌شوند و همۀ آن‌ها تعریف‌شده و معلوم‌اند و غالب آن‌ها هم منعکس‌اند (یعنی شرط لازم و کافی‌اند‌، مثل این‌که مجموع زوایای مثلث دو قائمه است و اگر مجموع زوایای شکل مسطحی دو قائمه باشد، آن شکل مثلث است).
پس «اگر چیزی مطلوب باشد و بخواهیم که از راه تحلیل عکس برای آن قیاسی بیاوریم‌، از لواحق دو طرف آنچه دارای این شرط‌ها باشد، می‌گیریم».

←← ترکیب عکس تحلیل


ابن سینا تصریح می‌کند که ترکیب عکس تحلیل است.
در ترکیب، به عکس تحلیل، ریاضی‌دانان «از مسئله‌ای به مسئلۀ دیگر بالا می‌روند، بی‌آنکه به مقدماتی که دارای وسط‌اند، خللی وارد کنند و از این مقدمات فراتر نمی‌روند، مگر آن‌گاه که از راه قیاسهایی قریب به آن‌ها روشنشان کرده باشند»؛ و به این دلیل که «لواحق طرفین» در برهان‌های ریاضی تعریف شده (محدود) و شناخته شده (معلوم) است، کار تحلیل و ترکیب در برهان‌های ریاضی هم کار ساده‌ای است.
[۹] ابن سینا، الشفاء، ج۱، ص۱۹۸- ۱۹۹، برهان، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، ۱۳۷۵ق/۱۹۵۶م.

از عبارات ابن سینا چنین بر می‌آید که در زمان او روش‌های تحلیل و ترکیب دو روش شناخته شدۀ ریاضی بوده است و شاید به این دلیل باشد که ابن سینا تعریف کردن این دو روش را لازم نمی‌بیند.

تحلیل و ترکیب در ریاضیات

[ویرایش]

هرچند تعریف تحلیل و ترکیب کلی است، به دلیل‌های یاد شده، این دو روش عمدتاً در ریاضیات و به ویژه برای اثبات قضایا و ترسیم اشکال هندسی به‌کار می‌رود. در روش تحلیل، برای اثبات قضیه یا ترسیم شکل هندسی‌ای که خواص معینی داشته باشد، آن قضیه را اثبات شده، یا آن شکل را ترسیم شده فرض می‌کنیم و آن‌گاه می‌کوشیم تا از آن قضایایی، یا شکلی، ساده‌تر نتیجه بگیریم، تا این‌که سرانجام، یا به قضیه‌ای که پیش‌تر ثابت شده، یا به شکلی که راه ترسیمش معلوم است، یا به اصول هندسه برسیم. ترکیب عبارت از این است که از اصول یا قضایای اثبات شده آغاز کنیم و با برهم افزودن آن‌ها سعی کنیم که قضیۀ مورد نظر را اثبات، یا شکل مطلوب را ترسیم کنیم.
در آثار بازمانده از ریاضی‌دانان و فیلسوفان یونانی، این دو شیوه به اختصار توضیح داده شده است. ابن ندیم دو کتاب به نام‌های کتاب الترکیب و کتاب التحلیل به اقلیدس نسبت داده،
[۱۰] ابن ندیم، الفهرست، ج۱، ص۳۲۶.
هرچند آن دو را منحول خوانده است. تا آن‌جا که می‌دانیم، در منابع دیگر نیز چنین آثاری به نام اقلیدس نیامده است. پاپوس اسکندرانی (نیمۀ اول قرن ۴م) در مقالۀ هفتم از «مجموعۀ ریاضی» خود این دو شیوه را به این صورت تعریف می‌کند: «تحلیل شیوه‌ای است که در آن از امر مطلوب آغاز می‌کنیم، به این معنی که آن را مسلّم می‌گیریم، و از طریق نتایجی که از آن جاری می‌شوند، به ترکیب چیزی که مسلم گرفته‌ایم، می‌رسیم... در ترکیب، به عکس، فرض می‌کنیم چیزی که از راه تحلیل ادراک شده است، هم اکنون موجود است و چون از این طریق، نتایج و علل آن را، بر حَسَب ترتیب طبیعی آنها، در اختیار داریم، این نتایج و علل را بر هم می‌افزاییم، تا سرانجام به ساختن شیء مطلوب موفق شویم»
[۱۱] Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶;
[۱۲] ، ج۲، ص۴۷۷ Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶

تعریفی شبیه تعریف پاپوس در برخی از نسخه‌های خطی متن یونانی اصول اقلیدس در آغاز مقالۀ هفتم دیده می‌شود که از اقلیدس نیست، بلکه از اضافات بعدی است.
[۱۳] Jones، A. introd. and commentary on Book ۷ of the Collection of Pappus of Alexandria, New York etc، ۱۹۸۶، ج۲، ص۳۸۰-۳۹۱.


← بیان شیوه‌های پرکلس


همچنین پرکلس در شرح خود بر مقالۀ اول اصول اقلیدس از این دو شیوه یاد کرده است.
[۱۴] ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، «ریاضیات»، ص ۱۵۷.
هِرون اسکندرانی (نیمۀ دوم قرن ۱م) در عبارتی از شرح خود بر اصول اقلیدس‌ که از راه شرح ابوالعباس نیریزی (قرن ۳ق/ ۹م) به دست ما رسیده، دو شیوۀ تحلیل و ترکیب را تعریف کرده است.
[۱۵] نیریزی، فضل، «شرح المقالة الثانیة من کتاب اقلیدس فی الاصول»، ج۱، ص۸.

از نوشتۀ پاپوس اطلاعات بیشتری در مورد تحلیل، به صورتی‌که در ریاضیات یونانی معمول بوده است، به دست می‌آید. وی از وجود حوزه‌ای خاص در ریاضیات به نام «حوزۀ تحلیل۳» (بنا بر ترجمۀ ور اکه)، و یا مجموعه‌ای از آثار ریاضی به نام «گنجینۀ تحلیل۴» (بنا بر ترجمۀ جونز)، سخن می‌گوید و می‌نویسد که آثار متعلق به این حوزه پس از فراهم آمدن «اصول رایج»، تألیف شده است. احیاناً مراد او از این اصطلاح، گذشته از آثاری از نوع اصول اقلیدس، برخی دیگر از آثار ریاضی یونانی است که در زمان او برای آموزش هندسه به کار می‌رفته است
[۱۶] Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۲، ص۳۸۰.
فارابی نیز می‌نویسد که «دانشمنـدان پیشیـنِ این‌رشتـه (هندسـه) ــ غیر از اقلیدس ــ در کتاب‌های خود راه تحلیل و ترکیب را با هم آورده‌اند، اما اقلیدس مطالب کتاب خود را تنها بر اساس ترکیب تألیف کرده است».
[۱۷] فارابی، احصاء العلوم، ج۱، ص۷۹، ترجمۀ حسین خدیو جم، تهران، ۱۳۴۸ش.
به گفتۀ پاپوس‌، روش تحلیل به کسی که اصول هندسه را فراگرفته است، توانایی می‌دهد تا مسائل هندسی‌ای را که به او عرضه می‌شود، حل کند.
[۱۸] Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۲.
پاپوس‌ پس از آن‌که اصطلاحات تحلیل و ترکیب را تعریف می‌کند، می‌گوید که تحلیل بر دو نوع است‌: در یکی هدف اثبات قضیه‌ای است و در دومی هدف ترسیم شکلی با خواص معلوم است. در حالت اول، فرض می‌کنیم که قضیۀ مورد نظر اثبات شده باشد و آن‌گاه، از راه تحلیل، نتایج منطقی قضیه را جست‌و‌جو می‌کنیم تا این‌که به چیزی که پیش‌تر اثبات شده باشد، برسیم. در این حالت‌، فرایند تحلیل اثبات محسوب نمی‌شود، بلکه اثبات عبارت از این است که راهی را که در تحلیل پیموده‌ایم، از طریق ترکیب بازگردیم
[۱۹] , A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۲-۸۴.
در حالتی که تحلیل سرانجام به نتیجۀ کاذبی منجر شود، معلوم می‌شود که حکم قضیۀ مورد نظر نادرست بوده است (هرچند پاپوس به این نکته تصریح نمی‌کند، پیداست که بر اساس این تعریف‌، استدلال از طریق برهان خلف نیز نوعی تحلیل محسوب می‌شود). در صورتی که هدف ترسیم شکلی با خصوصیات هندسی معین باشد، فرض می‌کنیم که آن شکل معلوم باشد و سپس از راه تحلیلِ نتایج آن به امری مسلّم می‌رسیم‌؛ «و این همان است که ریاضی‌دانان آن را «داده یا معلوم» می‌خوانند»
[۲۰] Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۴.
در این صورت نیز‌، برهان ساختن آن شکل، عکس عمل تحلیل است و هرگاه عمل تحلیل به نتیجۀ نادرستی منجر شود، معلوم می‌شود که ترسیم مورد نظر (رسم شکلی با خاصیت مورد نظر) ناممکن است. از نوشتۀ پاپوس چنین بر می‌آید که تحلیل روشی برای تجسس در حقایق ریاضی و کشف آن‌ها بوده است.

شیوه ترکیبی آثار هندسی

[ویرایش]

تا آن‌جا که می‌دانیم، به رغم این اشارات پراکنده، عمده آثار هندسی یونانیان به شیوۀ ترکیبی نوشته شده است و دانشمندان یونانی هیچ اثر جداگانه‌ای در موضوع تحلیل تألیف نکرده‌اند. از میان استثناها می‌توان از قضایای ۱-۵ مقالۀ سیزدهم کتاب اصول نام برد که اقلیدس آن‌ها را به هر دو روش تحلیل و ترکیب اثبات کرده است. با این حال، از اشارات دیگر در منابع پیدا ست که یونانیان از روش تحلیل برای تبدیل مسئلۀ مفروضی به مسئله‌ای که حل آن ساده‌تر باشد، استفاده می‌کرده‌اند. مثلاً بقراط خیوسی (قرن ۵ق‌م) مسئلۀ تضعیف مکعب را از راه تحلیل به مسئلۀ درج دو واسطه در میان دو طول معلوم تبدیل کرد
[۲۱] Heath, Th. , A History of Greek Mathematics, Oxford, ۱۹۲۱، ج۱، ص۲۴۴-۲۴۵
همچنین ارشمیدس در رسالۀ «دربارۀ کره و استوانه» مسئلۀ تقسیم کره‌ای به دوبخش را به‌طوری که نسبت میان حجم‌های آن‌ها معلوم باشد‌، به مسئلۀ تقسیم یک پاره خط تبدیل کرده بوده است. گذشته از این، به گفتۀ پاپوس، مجموعه‌ای از آثار ریاضی که وی آن را «گنجینۀ تحلیل» می‌خواند، کار تحلیل مسائل هندسی را آسان می‌کرده‌ است. در میان این آثار ــ که بسیاری از آن‌ها از بین رفته است‌ــ نام کتابهایی چون معطیات، یا «داده‌های» اقلیدس و مخروطات آپولونیوس نیز دیده می‌شود
[۲۲] Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۲
که متن آن‌ها به دست ما رسیده است، و دربارۀ سایر این آثار نیز پاپوس فهرستی از قضایای آن‌ها را به دست می‌دهد. با این حال، هیچ‌یک از این آثار مستقلاً در موضوع تحلیل بحث نمی‌کنند.

آثار باقی‌مانده دوران اسلامی

[ویرایش]

از دوران اسلامی، از قرن ۳ق/ ۹م به بعد، آثاری باقی‌مانده است که یکسره به موضوع تحلیل و ترکیب اختصاص دارد. گذشته از ترجمۀ عربیِ نوشتۀ جالینوس که به دست حنین بن اسحاق و به سفارش محمد بن موسی، ریاضی‌دان قرن ۳ق صورت گرفته است،
[۲۳] حنین بن اسحاق، رسالة فی ذکر ما ترجم من کتب جالینوس، ج۱، ص۶، به کوشش مهدی محقق، تهران، ۱۳۷۹ش.
و خود نشانۀ توجهی است که ریاضی‌دانان دوران اسلامی از همان آغاز به مسئلۀ ترکیب و تحلیل داشته‌اند، ثابت بن قره (ه‌ م)، ریاضی‌دان قرن ۳ق در رساله‌ای با عنوان فی‌التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیه ــ که به نام یکی از بزرگان زمان خود به نام ابن وهب نوشته است ــ بی آن‌که نامی از روش‌های تحلیل و ترکیب بیاورد، به ویژگی ترکیبی و اصل موضوعی کتاب اصول اقلیدس اشاره کرده و گفته است که اقلیدس به مقتضای این روش ناگزیر بوده است تا قضایایی را که باید «مقدم می‌داشت، مؤخر بدارد و آنچه را باید مؤخر می‌داشت، مقدم بیاورد».
[۲۴] ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۷۴۳، «ریاضیات».


رساله ابراهیم بن سنان

[ویرایش]

گذشته از رسالۀ‌ ثابت بن قره، نخستین اثر مفردی که در این موضوع به دست ما رسیده، رساله‌ای است از نوۀ او ابراهیم بن سنان بن ثابت بن قره، ریاضی‌دان قرن ۴ق/۱۰م، به نام فی طریق التحلیل والترکیب فی المسائل الهندسیه. ابراهیم بن سنان می‌گوید که کتاب خود را برای متعلمان نوشته است و این کتاب همۀ چیزهایی را که برای حل مسائل هندسی لازم است، در بردارد. مؤلف نخست تحلیل و ترکیب را تقریباً به همان شیوۀ پاپوس تعریف می‌کند و میان تحلیل در اثبات قضایا و ترسیم اشکال هندسی فرق می‌نهد و می‌گوید که رسالۀ او مختص آن‌گونه مسائل تحلیلی است که به ترسیم اشکال هندسی مربوط می‌شود.
[۲۵] ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۱۰۱، «ریاضیات».
ابراهیم بن سنان ترکیب و تحلیل را دو فرایند می‌داند که کاملاً معکوس یکدیگرند و می‌گوید که اگر گاهی اختلافی میان تحلیل و ترکیب مسئله‌ای دیده می‌شود، علت آن اختصاری است که ریاضی‌دانان به کار برده‌اند.
[۲۶] ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۹۷- ۹۹، «ریاضیات».
وی از پیشتازی خود در این زمینه آگاه است و نقص‌های احتمالی کتابش را از همین‌جا می‌داند. ابن سنان مسائل هندسی را بر‌حسب قابل ترسیم بودن یا نبودن آن‌ها و نیز کفایت فرض‌های مسئله یا زیادی یا نقصان آنها، و نیز شمار جواب‌های مسئله تقسیم مـی‌کنـد و بـه این دسته‌بنـدی مـی‌رسد: الف‌ـ مسائلـی که همـۀ فرضهای لازم برای حل آن‌ها داده شده است. این طبقه شامل دو دسته مسئله است: یکی مسائلی که جواب دارند و دیگر مسائل بـی‌جواب. ب‌ـ مسائلـی که حل آن‌ها جز با تغییر برخی از فرضهایشان ممکن نیست. این طبقه شامل دو طبقۀ فرعی است: یکی مسائلی که حل آن‌ها با بحث همراه است و دیگر مسائل سیّال (مسائلی که بیش از یک جواب دارند). طبقۀ فرعی اخیر نیز به مسائل سیال به معنی اخص و مسائل سیالی که حل آن‌ها با بحـث همـراه است، تقسیـم مـی‌شـود. ج ـ مسـائلـی کـه شمار مفروضات آن‌ها بیش از حد لازم است.

← کاربرد روش‌های تحلیل و ترکیب


رسالۀ ابراهیم بن سنان تنها به حل مسائل هندسی اختصاص دارد؛ با این حال، وی به کاربرد روش‌های تحلیل و ترکیب در علوم دیگر نیز اشاره می‌کند
[۲۷] ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۱۵۴، «ریاضیات».
[۲۸] ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، «ریاضیات» .
مفهوم وسیع تحلیل و ترکیب در رسالۀ فی‌التحلیل والترکیب ابن‌هیثم عرضه شده که مشروح‌ترین و اساسی‌ترین رساله‌ای است که از دانشمندان اسلامی در این موضوع باقی‌مانده است. در این رساله ابن‌هیثم نخست موضوع تحلیل را «دنبال کردن مقدمات و چاره‌اندیشی در رسیدن به آن‌ها و یافتن راه ترتیب آنها» می‌داند
[۲۹] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۱، «ریاضیات».
و می‌گوید: همۀ دستاوردهای علوم ریاضـی از این راه به دست آمـده است. آن‌گاه می‌افزاید که ترکیب یا «قیاسی برهانی» عکس ترتیب است.
[۳۰] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳، «ریاضیات».

تعریف ابن‌هیثم از تحلیل کلی است و بیش‌تر به تعریف منطقیان از «تحلیل حد» شباهت دارد. به نوشتۀ او، راه تحلیل این است که مطلوب را به کامل‌ترین صورت در نظر می‌گیریم و آن‌گاه در لوازم موضوع این مطلوب و جنس آن می‌اندیشیم و سپس در لوازم این لوازم، تا به یکی از داده‌های موضوع برسیم.
[۳۱] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳، «ریاضیات».
به این ترتیب، ارتباطی میان مبحث تحلیل و مبحث داده‌ها (معطیـات) به وجود مـی‌آید. در ترکیب، شـیء داده‌ شده را کـه از راه تحلیل بـه آن رسیده‌ایم، مفـروض می‌گیریم و سپس خاصه‌هایی را که در تحلیل به دست آورده‌ایم، به ترتیب عکس، به آن می‌افزاییم تا به این ترتیب به مطلوب برسیم.
[۳۲] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳، «ریاضیات».


← صناعة‌التحلیل نزد ابن‌هیثم


ابن‌هیثم تحلیل را یک فن خاص می‌داند و آن را «صناعة‌التحلیل» می‌نامد. این فن به ممارست و تمرین در اصول ریاضی و نیز به قوۀ حدس نیاز دارد.
[۳۳] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳-۲۳۵، «ریاضیات».
چون هدف این صناعت کشف مجهولات در هر یک از علوم ریاضی است، و راه کشف مجهولات در هر یک از علوم با علوم دیگر متفاوت است، بنا‌براین، صناعت تحلیل به شمار شاخه‌های ریاضیات شاخه دارد. در هر یک از این شاخه‌ها نیز مسئله‌ای که تحلیل آن لازم است، یا علمی است، یا عملی. در مسائل علمی، هدف ما اثبات خاصیتی برای موضوع است، در حالی‌که در مسائل عملی هدف به دست آوردن شیئی است که خاصیت مورد نظر را داشته باشد.
[۳۴] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۵، «ریاضیات».
آن‌گاه ابن هیثم مثالهایی از هر یک از مسائل علمی و عملی در هر یک از شاخه‌های ریاضیات (حساب، هندسه، نجوم و موسیقی) به دست می‌دهد. در مورد دو علم اخیر، ابن‌هیثم می‌گوید که مسائل عملیِ این دو علم به خود این علوم تعلق ندارند و در واقع مسائل حسابی یا هندسی هستند. اما مسائلی از این دو علم که در عُرف، عملی شمرده می‌شوند، مثل ساختن آلات رصد در نجوم یا تألیف عملی نغمه‌ها در موسیقی، به علوم نظری ریاضی تعلق ندارند.
[۳۵] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، «ریاضیات»، ج۱، ص۲۳۵-۲۳۷.

ابن هیثم مسائل عملی را به «محدود» و «غیر محدود» تقسیم می‌کند. مسائل محدود مسائلی هستند که حل آن‌ها مشروط به قید شرط یا شروطی است، اما مسائل غیر محدود به قید شرط نیاز ندارند.
[۳۶] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، «ریاضیات»، ج۱، ص۲۳۷- ۲۳۹.
از این نظر، تقسیم‌بندی او شبیه تقسیم‌بندی ابراهیم بن سنان است، با این تفاوت که وی مثالهایی از هر یک از این انواع در همۀ علوم ریاضی ذکر می‌کند. مسائل غیر محدود هم به سیال و غیر سیال تقسیم می‌شوند. سیال مسئله‌ای است که چند جواب داشته باشد و غیر سیال مسئله‌ای است که جز یک جواب نداشته باشد.
[۳۷] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۹، «ریاضیات».


← بخش عملی رساله


بر خلاف بخش عملی، در بخش علمی تحلیل یک نوع بیش‌تر نیست، با این حال، هر مسئله را می‌توان به روشهای گوناگون تحلیل کرد، زیرا چنان‌که گفته شد، کار تحلیل نیازمند «حدس صناعی» است و حدس غالباً منجر به این می‌شود که به مسئلۀ داده شده چیزهایی بیفزاییم و تشخیص این افزودنی‌ها وابسته به شخص تحلیلگر و مهارت او در این فن است.
[۳۸] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۴۳، «ریاضیات».

در مسائل علمی، تحلیل یا به خاصیت داده‌شده‌ای منتهی می‌شود و یا به فرض محالی. در حالت اول، اگر راهی را که در تحلیل پیموده‌ایم از طریق ترکیب بازگردیم، به برهان مسئلۀ مورد نظر می‌رسیم. اما در حالت دوم، یعنی وقتی که تحلیل به یک فرض محال منجر شود، عمل تحلیل خود برهانی است از نوع برهان خلف: فالتحلیل المؤدی الی‌المحال هو برهان بالخلف علی بطلان المعنی المبحوث عنه.
[۳۹] ابن‌هیثم، حسن،«فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۴۵، «ریاضیات».

به سبب پیوندی که در نظر ابن هیثم میان کار تحلیل و مسئلۀ معطیات یا داده‌ها وجود دارد، وی بخشی از رسالۀ خود را به این مفهوم اختصاص داده است. گذشته از این، رسالۀ جداگانه‌ای که دربارۀ داده‌ها یا معلومات با عنوان فی المعلومات نوشته، مکمل رسالۀ او در‌بارۀ تحلیل و ترکیب است. بخش عمدۀ رسالۀ ابن‌هیثم، مانند رسائل دیگری که در این موضوع تألیف شده است، به حل برخی از مسائل هندسی و حسابی از راه تحلیل و ترکیب اختصاص دارد.
تأکید ابن هیثم بر اهمیت حدس صناعی و تمرین در کار تحلیل نشان می‌دهد که در نظر او تحلیل شیوه‌ای نیست که خودبه‌خود، و به صورت «مکانیکی»، ما را به نتیجۀ مورد نظر برساند، بلکه این عمل جزء «حیَل» است، یعنی جزء فنونی است که به ابتکار نیاز دارد. با این حال، آثاری که ریاضی‌دانان دوران اسلامی در این مسئله پدید آورده‌اند، نشانۀ اهمیتی است که برای «فن ابداع (Euclid)» در ریاضیات قائل بوده‌اند. به همین دلیل، برخی از آثار خود را، بر خلاف شیوۀ رایج در ریاضیات یونانی، به شیوۀ تحلیلی تألیف کرده‌اند و در برخی دیگر، دو شیوۀ تحلیل و ترکیب را در کنار هم به کار گرفته‌اند. رسالۀ بی‌نام خیام دربـارۀ حل یک مسئلۀ هندسـی ــ که مصاحب آن را به حق «تحلیل یک مسئله» نام داده
[۴۰] ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، «ریاضیات»، ج۱، ص۲۵۱.
ــ نمونۀ آثار گروه اول است. ابن هیثـم در رساله‌های خـود فی المرایا المحرقة بالقطوع ــ «دربارۀ آینـه‌های سوزان سهموی» ــ و فـی المرایا المحرقـة بالدائـرة ــ «دربارۀ آینه‌های سوزان کروی» (مجموع الرسائل، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۷ق) ــ به هر دو روش تحلیل و ترکیب عمل کرده است. برخی از ریاضی‌دانان دیگر نیز مسائلی را یکسره به روش تحلیل حل کرده بودند. از آن جمله است ابو سعد علاء بن سهل (قرن ۴ق/۱۰م) که رساله‌ای در تحلیل مسائل هندسی داشته که اکنون از میان رفته است. ریاضی‌دان معاصر او به نام ابوعبدالله شَنّی در رسالۀ جداگانه‌ای به نام ترکیب مسائل التی حللها ابو سعد العلاء بن سهل این مسائل را به روش ترکیبی حل کرده است.
[۴۱] ابراهیم بن سنان، «فی طریق التحلیل والترکیب فی المسائل الهندسیة»، ص ۴۴۴-۴۸۹.


رسالۀ خیام

[ویرایش]

هرچند ابن‌هیثم در فی التحلیل و الترکیب، نامی از جبر و کاربرد این دو روش در آن نمی‌برد، رسالۀ خیام اهمیت عمل تحلیل را در پیدایش معادلات جبری، به‌ویژه معادلات درجۀ سوم نشان می‌دهد. از این طریق بود که ماهانی، در حل مسئله‌ای هندسی که از ارشمیدس رسیده بود، «برای آسانی کار اصطلاحات جبریان را به کار برد و تحلیل او به معادله‌ای میان اعداد و توان‌های دوم و سوم منجر شد»
[۴۲] خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۲۵۴-۲۵۵.
[۴۳] خیام، «جبر و مقابله»، «خیام، ریاضی‌دان»، ص ۱۱۷.
خیام خود نیز در این رساله مسئله‌ای هندسی را از راه تحلیل به معادله‌ای جبری تبدیل می‌کند.
[۴۴] خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۲۴۵.
فرایندهای تحلیل و ترکیب در نظر خیام همان است که در آثار ریاضی‌دانان دیگر نیز دیده می‌شود: «فرض می‌کنیم که تحلیل ما را به امر معلومی برساند. آن‌گاه به همان شیوه ترکیب می‌کنیم».
[۴۵] خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۲۳۹.
مزیت بزرگ تبدیل مسائل هندسی، از راه تحلیل، به مسائل جبری این بود که نشان می‌داد هر مسئله به چه دسته‌ای از مسائل تعلق دارد، به این معنی که آیا با خط‌کش و پرگار حل‌شدنی است، یا برای حل آن به مقاطع مخروطی نیاز است.
جبردانان دیگر، مانند کرجی، نیز به اهمیت تحلیل و ترکیب توجه کرده‌اند و این دو شیوه را یکی از ابزارهای اصلی کار خود دانسته‌اند. این نکته را غیاث‌الدین جمشید کاشانی به این صورت بیان کرده است: «چه بسا که عبارت سؤال پیچیده است، به طوری‌که در بادی امر نحوۀ روابط میان مجهولات و معلومات آن را در نمی‌یابیم و گمان می‌بریم که از راه «مفتوحات» حل‌شدنی نیست، یا نمی‌توان آن را از راه جبر و مقابله ساده کرد، یا پس از ساده شدن هم به معادله‌ای منجر نمی‌شود، یا اگر بشود، معادله قابل حل نیست. در این حالت باید کسی که می‌خواهد آن را حل کند، از هر جهت در آن دقیق شود و عبارت آن را خلاصه کند و نسبت میان مجهولات و معلومات آن و خواصی را که میان آن‌ها موجود است، و نیز لوازم آن را بشناسد تا کار به دست آوردن مجهول بر او آسان شود؛ و این امر را تحلیل و ترکیب می‌نامند. تحلیلگر باید چیره‌دست و به مقدمات حساب و دیگر قوانین آن آگاه باشد، و نیز ذهنی هوشمند و حدسی قوی و طبعی سلیم داشته باشد».
[۴۶] خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۴۸۹.


توجه به فن ابداع

[ویرایش]

در قرن ۱۱ق/۱۷م، توجه ریاضی‌دانان به «فن ابداع» در ریاضیات باعث شد که مسئلۀ تحلیل و ترکیب از نو در دایرۀ توجه ایشان قرار گیرد. به نظر ایشان، شیوۀ ترکیبی ریاضی‌دانان باعث شده‌ بود که خطوط اصلی اندیشۀ ایشان از نظر دور بماند.
[۴۷] Knorr, W. R. , The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, ۱۹۸۶، ص ۹.
نیوتن کوشید تا این دو شیوه را در حل دیگر مسائل نیز به کار برد و در فلسفۀ دکارت، تحلیل و ترکیب، البته به معنایی بسیار وسیع‌تر، به صورت شیوه‌ای برای حل همۀ مسائل فلسفی درآمد.

فهرست منابع

[ویرایش]

(۱) ابراهیم بن سنان، «فی طریق التحلیل والترکیب فی المسائل الهندسیة»، ابراهیم بن (نک‌ : مل‌، راشد و بلوستا).
(۲) ابن زرعه، عیسی، منطق، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.
(۳) ابن سینا، الاشارات والتنبیهات، تهران، ۱۳۷۷ق.
(۴) ابن سینا، الشفاء، برهان، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، ۱۳۷۵ق/۱۹۵۶م.
(۵) ابن ندیم، الفهرست.
(۶) ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، «ریاضیات» (نک‌ : مل‌، راشد).
(۷) ابوالفرج ابن طیب، عبدالله، تفسیر کتاب ایساغوجی لفرفوریوس، به کوشش کوامی جیکی، بیروت، ۱۹۷۵م.
(۸) ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، «ریاضیات» (نک‌ : مل‌، راشد).
(۹) جالینوس، «الصناعة الطبیة»، «فلسفۀ ریاضی ابن هیثم» (نک‌ : مل‌، راشد).
(۱۰) حنین بن اسحاق، رسالة فی ذکر ما ترجم من کتب جالینوس، به کوشش مهدی محقق، تهران، ۱۳۷۹ش.
(۱۱) خیام، «جبر و مقابله»، «خیام، ریاضی‌دان» (نک‌ : مل‌، راشد و وهاب‌زاده).
(۱۲) خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، «خیام، ریاضی‌دان» (نک‌ : مل‌، راشد و وهاب‌زاده).
(۱۳) غیاث الدین جمشید کاشانی، مفتاح الحساب، به کوشش نادر نابلسی، دمشق، ۱۹۷۷م.
(۱۴) فارابی، احصاء العلوم، ترجمۀ حسین خدیو جم، تهران، ۱۳۴۸ش؛
(۱۵)مصاحب، غلامحسین، حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر، تهران، ۱۳۳۹ش؛
(۱۶) نصیر الدین طوسی، اساس الاقتباس، به کوشش محمد تقی مدرس رضوی، تهران، ۱۳۲۶ش.
(۱۷) نیریزی، فضل، «شرح المقالة الثانیة من کتاب اقلیدس فی الاصول»، اصول (نک‌ : مل‌، اقلیدس۳).
(۱۸) Aristotle، Analytica posteriora.
(۱۹) id, Ethica Nicomachea.
(۲۰) Euclid, Elementa,.
(۲۱)with commentary of Al-Nairizii, Frankfurt, ۱۹۹۷, Part II
(۲۲) Heath, Th, A History of Greek Mathematics, Oxford, ۱۹۲۱;.
(۲۳) Jones, A, introd and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc, ۱۹۸۶;.
(۲۴) Knorr, WR, The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, ۱۹۸۶;.
(۲۵) Pappus of Alexandria, La Collection mathématique, tr P Ver Eecke, Paris, ۱۹۳۳;.
(۲۶) Rashed, R, Geometry and Dioptrics in Classical Islam, London, ۲۰۰۵;.
(۲۷) id, Les Mathématiques infinitésimales du IX e au XI e siècle, London, ۲۰۰۲, vol IV;.
id,» La Philosophie des mathématiques d’Ibn al-Haytham: II, Les connus «, Mélanges de l’Institut
(۲۸) dominicain d’études orientales du Caire ۱۹۹۳, vol XXI;

پانویس

[ویرایش]
 
۱. عیسی‌ابن زرعه، منطق، ج۱، ص۱۰۰، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.
۲. عیسی‌ابن زرعه، منطق، ج۱، ص۱۰۰، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.
۳. ابن سینا، الاشارات والتنبیهات، ج۱، ص۱۲۳، تهران، ۱۳۷۷ق.
۴. عبدالله ابوالفرج ابن طیب، تفسیر کتاب ایساغوجی لفرفوریوس، ج۱، ص۴۴، به کوشش کوامی جیکی، بیروت، ۱۹۷۵م.
۵. نصیر‌الدین طوسی، اساس الاقتباس، ص۴۲۵، به کوشش محمد تقی مدرس رضوی، تهران، ۱۳۲۶ش .
۶. جالینوس، «الصناعة الطبیة»، ج۱، ص۲۷۳- ۲۷۵، «فلسفۀ ریاضی ابن هیثم».
۷. نصیر‌الدین طوسی، اساس‌الاقتباس، ج۱، ص۴۲۵، به کوشش محمد تقی مدرس رضوی، تهران، ۱۳۲۶ش.
۸. جالینوس، «الصناعة الطبیة»، ج۱، ص۲۷۳- ۲۷۵، «فلسفۀ ریاضی ابن هیثم».
۹. ابن سینا، الشفاء، ج۱، ص۱۹۸- ۱۹۹، برهان، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، ۱۳۷۵ق/۱۹۵۶م.
۱۰. ابن ندیم، الفهرست، ج۱، ص۳۲۶.
۱۱. Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶;
۱۲. ، ج۲، ص۴۷۷ Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶
۱۳. Jones، A. introd. and commentary on Book ۷ of the Collection of Pappus of Alexandria, New York etc، ۱۹۸۶، ج۲، ص۳۸۰-۳۹۱.
۱۴. ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، «ریاضیات»، ص ۱۵۷.
۱۵. نیریزی، فضل، «شرح المقالة الثانیة من کتاب اقلیدس فی الاصول»، ج۱، ص۸.
۱۶. Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۲، ص۳۸۰.
۱۷. فارابی، احصاء العلوم، ج۱، ص۷۹، ترجمۀ حسین خدیو جم، تهران، ۱۳۴۸ش.
۱۸. Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۲.
۱۹. , A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۲-۸۴.
۲۰. Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۴.
۲۱. Heath, Th. , A History of Greek Mathematics, Oxford, ۱۹۲۱، ج۱، ص۲۴۴-۲۴۵
۲۲. Jones, A. , introd. and commentary on Book ۷ of the Collection… of Pappus of Alexandria, New York etc. , ۱۹۸۶، ج۱، ص۸۲
۲۳. حنین بن اسحاق، رسالة فی ذکر ما ترجم من کتب جالینوس، ج۱، ص۶، به کوشش مهدی محقق، تهران، ۱۳۷۹ش.
۲۴. ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۷۴۳، «ریاضیات».
۲۵. ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۱۰۱، «ریاضیات».
۲۶. ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۹۷- ۹۹، «ریاضیات».
۲۷. ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، ج۱، ص۱۵۴، «ریاضیات».
۲۸. ثابت بن قره، «فی التأتّی لاستخراج عمل المسائل الهندسیة»، «ریاضیات» .
۲۹. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۱، «ریاضیات».
۳۰. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳، «ریاضیات».
۳۱. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳، «ریاضیات».
۳۲. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳، «ریاضیات».
۳۳. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۳-۲۳۵، «ریاضیات».
۳۴. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۵، «ریاضیات».
۳۵. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، «ریاضیات»، ج۱، ص۲۳۵-۲۳۷.
۳۶. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، «ریاضیات»، ج۱، ص۲۳۷- ۲۳۹.
۳۷. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۳۹، «ریاضیات».
۳۸. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۴۳، «ریاضیات».
۳۹. ابن‌هیثم، حسن،«فی التحلیل والترکیب»، ج۱، ص۲۴۵، «ریاضیات».
۴۰. ابن‌هیثم، حسن، «فی التحلیل والترکیب»، «ریاضیات»، ج۱، ص۲۵۱.
۴۱. ابراهیم بن سنان، «فی طریق التحلیل والترکیب فی المسائل الهندسیة»، ص ۴۴۴-۴۸۹.
۴۲. خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۲۵۴-۲۵۵.
۴۳. خیام، «جبر و مقابله»، «خیام، ریاضی‌دان»، ص ۱۱۷.
۴۴. خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۲۴۵.
۴۵. خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۲۳۹.
۴۶. خیام، «فی قسمة ربع‌الدائرة»، ج۱، ص۴۸۹.
۴۷. Knorr, W. R. , The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, ۱۹۸۶، ص ۹.


منبع

[ویرایش]

دانشنامه بزرگ اسلامی، مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی، برگرفته از مقاله «تحلیل وترکیب»، ج۱۴، ص۵۸۰۹، تاریخ بازیابی ۹۷/۲/۱۷.    






جعبه ابزار